پژوهش – بررسی دینامیک درهم تنیدگی کیوبیت ها در محیط غیرمارکوفی۹۲- قسمت ۱۳

همچنین نشان دهندهی حالت میدان حاوی یک فوتون درمد ام میباشد. با بکار بردن معادلهی شرودینگر رابطهی (۲٫۲) و رابطهی تحول زمانی (۴٫۸)، معادلات حاکم به صورت ذیل هستند،
(۴٫۹) ،
(۴٫۱۰) ،
در روابط بالا نقطهی بالا نویس نشان دهندهی مشتق نسبت به زمان است. حال اگر رابطهی (۴٫۱۰) را در ضرب کنیم خواهیم داشت،
(۴٫۱۱)
اکنون اگر در طرفین رابطهی (۴٫۱۱) عبارت را ضرب کنیم و از روابط زیر نیز برای انجام محاسبات استفاده کنیم داریم،
،
(۴٫۱۲)
سپس از طرفین رابطهی (۴٫۱۲) نسبت به و در بازهی بین انتگرال میگیریم، مقدار را به صورت زیر بدست میآوریم،
چون داریم،
پس از محاسبه کردن و جاگذاری آن در (۴٫۹) خواهیم داشت،
(۴٫۱۳)
تابع زیر بیانگر هسته برای حالت بسامدهای گسسته میباشد،
و در حد پیوستگی از بسامد محیط، تابع هسته شکل انتگرالی زیر را دارد،
(۴٫۱۴)
که در آن تابع چگالی طیفی است که توصیف کننده جفت شدگی قوی محیط با کیوبیت میباشد، مقدار در آن به صورت تعریف میشود]۳۴[. برای رفع بینهایت در یکپارچگی بسامد، بسامد قطع را معرفی میکنیم. این بسامد مشخصه رفتار خاص، و خواص منبع را تعیین میکند که در مدلی که ما معرفی کردیم، چگالی طیفی ابر اهمیک[۶۰] میباشد]۳۴[. با توجه به روابط (۴٫۱۳) و (۴٫۱۴) رابطهی کلی به صورت یک معادله دیفرانسل انتگرالی است که به صورت زیر بدست میآید،
(۴٫۱۵)
رابطهی (۴٫۱۵) یک معادله دیفرانسیل انتگرالی برای دینامیک غیرمارکوفی دو کیوبیتی است که از جفت شدن دو معادلهی (۴٫۹) و (۴٫۱۰) بدست آمده است. همچنین طرف دوم رابطه با وجود تابع هسته ، دارای اثر حافظهدار در محیط میباشد. در این رابطه مقدار را برای محاسبهی واپاشی در ناهمدوسی و انتقال بسامد بدست میآوریم.
۴-۳ بررسی حالت مخلوط و بدست آوردن رابطهای برای محیط غیرمارکوفی
با توجه به دو موقعیت نام برده شده در بخش قبلی به آسانی میتوان تحول زمانی هر گونه حالت اولیهای را بدست آورد. حالت اولیه برای سامانهی مرکب به صورت حالت اولیهی سامانه ضرب تانسوری محیط خلاء میباشد که در ابتدا سامانه و محیط هیچ برهمکنشی با هم ندارند. حالت اولیه کلی را به صورت زیر نشان میدهیم،
،
که در آن
تحول زمانی سامانه کلی را میتوان به آسانی با توجه به روابط،
(۴٫۱۶) ،
و
(۴٫۱۷)،
محاسبه کرد. در واقع، آنچه برای ما قابل توجه است ماتریس چگالی کاهش یافتهی کیوبیت خواهد بود که با رد (اثر)[۶۱] گرفتن نسبت متغیرهای منبع بدست میآید. با اثر گرفتن روی محیط در رابطهی (۴٫۱۶) خواهیم داشت،
(۴٫۱۸)
همچنین با جاگذاری روابط (۴٫۷)، (۴٫۱۷)و (۴٫۱۸) ماتریس چگالی کاهش یافته به صورت زیر بدست میآید،
مشتق گرفتن از این رابطه نسبت به زمان، معادلهی تحول کیوبیت را بدست میدهد،
(۴٫۱۹)
که در آن و میباشند.
نقش وابستگی زمان در انتقال بسامد و نقش وابستگی زمان در آهنگ واپاشی را به عهده دارند]۲۰[. به رابطهی (۴٫۱۹) معادلهی مادر برای سامانهی تک کیوبیتی گفته میشود. لازم به ذکر است که فرآیند بدست آوردن معادلهی مادر (۴٫۱۹) به تقریب بورن- مارکوفی متوسل نمیشویم.
با تعریف کردن دامنه احتمالات به صورت زیر میتوان به راحتی تقریب مارکوفی را از معادلهی مادر غیرمارکوفی دوباره تولید کرد،
،
میتوان دوباره رابطهی (۱۵٫۴) را طرح کرد،

دانلود متن کامل این پایان نامه در سایت abisho.ir