آمده(2-85) و نوشتن مدهاي انرژي و فرايند منظم سازي،نيروي كازيمير ميدان الکترومغناطيسي را به دست خواهيم آورد.
مولفه هاي ميدان هم پس از حذف درجات آزادي به صورت زيرنوشته مي شوند:
(2-86)
در مرحله آخر نشان مي دهيم که ضرائب و طبق رابطه زير جفت کانونيک يکديگرند:
(2-87)
بنابراين با استفاده از روش سازگاري قيود و در نظر گرفتن شرايط مرزي به عنوان قيود مولفه هاي انرژي و تکانه ميدان مغناطيسي را به دست آورديم.

فصل سوم
خلاء الکترومغناطيسي

در فصل سوم اين پايان نامه مفهوم خلاء الكترومغناطيس را به طور اصولي مورد بحث قرار داده و کار خود را با اين نكته که ميدان الكترومغناطيسي با مجموعه اي از نوسانگرهاي هارمونيك با بسامد مشابه هم ارز مي باشد، آغاز مي کنيم. پس از بررسي نوسانگر هارمونيك و هاميلتوني و معادلات حركت آن نشان مي دهيم كه هر مد ميدان با يک نوسانگر هارمونيك هم ارز مي باشد و سپس به كوانتش مدهاي ميدان توسط جايگزيني عملگرهاي خلق () و نابودي () در نظريه كوانتومي به جا ي و در نظريه كلاسيكي مي پردازيم و سپس روابط جابه جائي و انرژي و تكانه را براي آنها ارائه مي دهيم و به اين نتيجه مي رسيم كه روابط جابه جائي كانونيكي براي يك نوسانگر هارمونيك ايجاب مي كند كه انرژي نقطه صفر نوسانگر باقي بماند. در پايان اين فصل با نتايج بخش هاي قبلي اين فصل و تعريف ميدان متناسب،و استفاده از تابع قطع براي متناهي كردن مقدار انرژي پتانسيل و همچنين فرمول جمع اويلر- ماكلارين نيروي كازيمير را به دست مي آوريم.

3-1 معرفي
نظريه کوانتومي ميدان الکترومغناطيسي آزاد در حضور منبع توسط بورن، هايزنبرگ و جوردان براي اولين بار در سال 1926 ارائه شد که در آن انرژي نقطه صفر پيش بيني شده بود و اولين کاربرد آن توسط ديراک در سال 1927 وقتي که بر روي نشر و جذب تابشي کار مي کرد به ثبت رسيد. ما در اين فصل کوانتش ميدان الکترومغناطيسي را با تأکيد خاص بر حالت پايه دستگاه يا خلاء بررسي مي کنيم.

3-2 نوسانگر هارمونيک
از نقطه نظر رياضي يک ميدان الکترومغناطيسي تک فام با يک نوسانگر هارمونيک با فرکانس مشابه هم ارز مي باشد[75]. بنابراين ميدان الکترومغناطيسي را مي توان به صورت مجموعه اي از نوسانگرهاي هم آهنگ ساده تصور کرد. قبل از اين که در مورد جمله فوق بحث کنيم به طور خلاصه نوسانگر هارمونيک را در مکانيک کوانتومي بازنگري مي کنيم.
هاميلتوني کوانتومي نوسانگر هارمونيک شکل مشابهي با حالت مکانيک کلاسيک دارد:
(3-1)
که q و p عملگرهاي مکانيک کوانتومي در فضاي هيلبرت مي باشند. معادلات حرکت هايزنبرگ نيز شکل مشابهي با معادله هاميلتوني کلاسيکي دارد:
(3-2)
(3-3)
که جملات بالا از رابطه جابجايي پيروي مي کنند. با تعريف عملگرهاي پايين آورنده (a) و بالابرنده (a+) به شکل زير:
(3-4)
(3-5)
يا معادل آنها:
(3-6)
(3-7)
و استفاده از اثبات مي شود که:
(3-8)
حال با توجه به معادلات (3-6) و(3-8) مي توانيم هاميلتوني (3-19) را به شکل زيربنويسيم:
(3-9)
سطوح انرژي نوسانگر هارمونيک با ويژه مقادير عملگر تعيين مي شوند که ويژه مقادير و ويژه کتهاي N به ترتيب به وسيله اين گونه نمايش داده مي شوند:
(3-10)
از جبر عملگرهاي به دست مي آيد:
(3-11)
(3-12)
و بنابراين سطوح انرژي نوسانگر هارمونيک اين گونه اند:
(3-13)
از معادله (3-11) براي حالت پايه خواهيم داشت:
(3-14)
با استفاده از عملگرهاي a و a+ جزئيات گوناگوني از نوسانگر هارمونيک را مي توانيم به دست آوريم.به طور مثال:
(3-15)
(3-16)
(3-17)
که بنابراين خواهيم داشت:
(3-18)
که:
(3-19)

و اين با رابطه عدم قطعيت:
(3-20)
سازگار است و نشان دهنده اين است که حالت پايه نوسانگر هارمونيک يک حالت کمينه ضرب عدم قطعيت مي باشد.
3-3 رابطه مدهاي ميدان و نوسانگر هارمونيک
اولين مرحله براي کوانتش ميدان الکترومغناطيسي اين است که نشان دهيم مدهاي فوريه ميدان هم ارز با نوسانگرهاي هارمونيک مي باشد[74]. معادلات ماکسول ميدان براي يک ميدان آزاد(يعني ميدان در منطقه اي که هيچ منبعي وجود نداشته باشد) عبارتند از[76]:
(3-21)
(3-22)
(3-23)
(3-24)
با معرفي بردار پتانسيلبه نحوي که خواهيم داشت: معادله (3-23) ايجاب مي کند که:
که ?يک پتانسيل اسکالر است. از معادله (3-24) براي پيمانه کولمبي به دست خواهيم آورد:
(3-25)
بنابراين مي توان معادلات ماکسول فضاي آزاد را با حل (3-25) با اعمال شرايط مرزي مناسب مشخص کرد. حال با تعريف:
(3-26)
و تناسب انرژي الکترومغناطيسي با:
(3-27)
و نيز تعريف مقادير حقيقي زير:
(3-28)
(3-29)
که ?(t) در رابطه صدق مي کند و .معادله (3-27)را مي توان اين گونه
نوشت:
(3-30)
3-4 کوانتش مدهاي ميدان
براي توضيح مد ميدان مکانيک کوانتومي به طور ساده معادل آن يعني مکانيک کوانتومي نوسانگر هارمونيک را توضيح مي دهيم و مي توان گفت در تئوري کلاسيکي به ترتيب با عملگرهاي افزاينده و کاهنده در تئوري کوانتومي جايگزين شده اند. بدين شکل که:

يا به عبارتي ديگر:
(3-31)
(3-32)
و به طور واضح هاميلتوني (3-30) براي مد ميدان کوانتيده با عبارت زير معادل است:
(3-33)
ويژه مقادير انرژي مد ميدان با بسامد ? در معادله (3-13) نشان داده شده است. عدد صحيح n تعداد انرژي کوانتيده يا فوتونها در مد ميدان است که با حالت |n بيان مي شود. حالت خلاء 0| هيچ فوتوني ندارد ولي با اين وجود انرژيرا داراست. بدين گونه تئوري کوانتومي تابشي وجود ميدان الکترومغناطيسي نقطه صفر را پيش بيني مي کند و در تمام حالات ايستا |n، مقدار چشمداشتي ميدان هاي الکتريکي و مغناطيسي صفر مي باشد:
(3-34)
بنابراين و اين به اين معني است که بردارهاي ميدان الکتريکي و مغناطيسي با ميانگين صفر در حالت |n نوسان مي کنند، اگرچه ميدان ها تعريف شده و متناهي هستند ولي انرژي غير متناهي را دارند.

3-5 ميدان در فضاي آزاد
تعميم فرآيند کوانتش براي تعدادي از مدهاي ميدان نيز بسيار واضح است. در اين بخش ميداني را در يک فضاي آزاد بدون هيچ شرط مرزي در نظر مي گيريم که در اين مورد تعداد مدهاي مجاز ما نامتناهي مي باشد. همان طور که در [77] مشخص شده است تابع ميدان براي فضاي آزاد نامتناهي بايد مستقل از مکان باشد.
حال مي خواهيم توابع مد خود را به هنجار کنيم. براي رسيدن به يک به هنجارسازي دلخواه فضا را به مکعب هايي با حجم تقسيم مي کنيم و درون ميدان شرايط مرزي تناوبي:
(3-35)
يا معادل آن:
(3-36)
را اعمال مي کنيم. تابع مد معادله هلمهولتز را ارضاء مي کند و به هنجارسازي جعبه اين گونه است:
بردار واحد قطبش مد ميدان را مشخص مي کند. شرايط اين معني را مي دهد که دو انتخاب وابسته به وجود دارد که ما آنها را و مي ناميم و پس مي توان توابع مد را اين گونه بازنويسي کرد:
(3-37)
و برحسب بردار پتانسيل:
(3-38)
يا:
(3-39)
که به ترتيب عملگرهاي نابودي و خلق فوتون براي مد با بردار k و قطبش ? هستند. معادلات ماکسول به ما اين اجازه را مي دهد که براي پتانسيل برداري در فضاي آزاد داشته باشيم:
(3-40)
با استفاده از اين اصل که:
(3-41)
مي توان هاميلتوني ميدان را براي مدهاي نامتناهي در فضاي آزاد اين گونه تعريف کرد:
(3-42)
اين هاميلتوني براي تعداد نامتناهي از نوسانگرهاي هارمونيک ناجفت شده مي باشد. بنابراين مدهاي مختلف ميدان مستقل هستند و در روابط جابجايي زير صدق مي کنند:
(3-43)
(3-44)
و تکانه خطي ميدان به طور کلاسيکي بارابطه زير نشان داده مي شود:
(3-45)
بعد از کمي محاسبات تکانه خطي ميدان اين گونه مشخص مي گردد[77]:
(3-46)
واضح است که . همين طور ويژه مقادير p ، هستند که هر n، عدد صحيح مثبت يا صفر است و انرژي و تکانه خطي اين گونه نمايش داده مي شوند:
(3-47)
(3-48)
بنابراين به تئوري کوانتومي ميدان الکترومغناطيسي آزاد در حالت ساکن که داراي فوتونهايي با انرژي و تکانه خطي مي باشد، رسيديم.
واضح است که براي هر فوتون مقدار برابر با صفر مي شود، پس فوتونها جرم ساکن صفر دارند و با توجه به اثباتي که در[77] شده است، يک فوتون بوزوني با اسپين 1 مي باشد.

3-6 ضرورت ميدان خلاء
حالت خلاء ميدان آزاد به عنوان حالت پايه اي که براي همه مدها ،برابر با صفر شود، تعريف مي شود. حالت خلاء شبيه همه حالت هاي ايستا ميدان يک ويژه حالت هاميلتوني است، ولي ويژه حالت عملگرهاي مغناطيسي و الکتريکي ميدان نيست. پس در حالت خلاء ميدان هاي الکتريکي و مغناطيسي مقدارهاي معيني ندارند. مهم ترين ويژگي شاخص حالت خلاء اين است که انرژي معين است. حال با استفاده از رابطه (3-36)، مي توان جايگزيني زير را ايجاد کرد:
(3-49)
با توجه به رابطه فوق چگالي انرژي نقطه صفربرابر با عبارت زير مي شود:
(3-50)
به عبارت ديگر چگالي انرژي طيفي ميدان خلاء اين گونه تعريف مي گردد:
(3-51)
بنابراين چگالي انرژي نقطه صفر در بسامد محدوده ?1 تا ?2 چنين مي شود:
(3-52)
که اين مي تواند حتي در نسبت کم پهنا (منطقه هاي “بسامد- پايين” طيف) نيز بزرگ باشد. در مرجع[77]، ثابت شده است که انرژي نقطه صفر ميدان مي تواند با اعمال روش ترتيب نرمال عملگرها از هاميلتوني حذف شود، اما اين حذف به اين معني نيست که ميدان خلاء بدون نتيجه فيزيکي است. در مرجع[77] با در نظر گرفتن يک نوسانگر دو قطبي در خلاء مشخص شده است که روابط جابجايي کانونيکي براي يک نوسانگر هارمونيک جفت شده در ميدان خلاء، ايجاب مي کند که انرژي نقطه صفر نوسانگر باقي بماند.

.
3-7 اثر کازيمير
همان طور که گفته شد کازيمير[1] نشان داد که يک نتيجه از ميدان نقطه صفر نيروي جاذبه بين دو صفحه موازي کاملاً رساناي غير باردار مي باشد. در اين بخش محاسبات متعارف نيروي کازيمير را بازنگري مي کنيم.

Z=0 Z=d
شکل(3-1) دو صفحه رساناي موازي در ميدان الکترومغناطيسي نقطه صفر.
شرايط فيزيکي نشان داده شده در شکل (3-1) ما را ملزم مي کند که مجموعه اي از مدهاي فيزيکي متفاوت با موج تخت فضاي آزاد را به کار گيريم. در ابتدا مدهاي متناسب با فضاي داخل يک مکعب مستطيل که ابعاد آن است را تعيين مي کنيم.
براي ديواره هاي کاملاً رسانا توابع مدها شرايط مرزي که ترکيبات مماسي ميدان هاي الکتريکي به صفر ميل کنند را مشخص مي کنند و اين ترکيبات مماسي ميدان هاي الکتريکي روي

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید