کنيم.
اين کار ضمن حفظ ديناميک سيستم، ساختار پواسون فضاي فاز را به نحوي حفظ مي کند که قيود نوع دوم به طور قوي مي تواند فضاي فاز کنار گذاشته شود[4].
قبل از اعمال کروشه ديراک، با استفاده از روابط اساسي، کروشه پواسون بين ضرائب را در بسط مولفه هاي ميدان محاسبه مي کنيم و نشان مي دهيم که ضرائب بسط جفت کانونيک يکديگرند.
در نهايت براي رفتن به حوزه کوانتومي کروشه ديراک تبديل به جابه جاگر و مولفه هاي ميدان به عملگر بدل مي شوند.
در کليه روش هايي که براي کوانتش سيستم ها (چه مقيد و چه غير مقيد) به کار رفته است از معادلات حرکت در فرايند کوانتش استفاده نمي شود. پس در کوانتش به حل کامل دستگاه نيازي نيست، بلکه ديناميک دستگاه فقط تا حد بررسي سازگاري قيود اهميت دارد [5].
حال به بررسي کوانتش ميدان هاي کلين گوردون و الکترومغناطيس با در نظر گرفتن قيود ديراک به عنوان شرايط مرزي مي پردازيم.

2-3 کوانتش ميدان کلين گوردون در حجم محدود با استفاده از قيود ديراک
2-3-1 حل معادله ميدان کلين گوردون
اگر يک ميدان کلين گوردون کلاسيک با چگالي لاگرانژي:
(2-19) £
را در نظر بگيريم مي توان با استفاده از £ لاگرانژي زير را بدست آورد[74]:
(2-20)
حال با استفاده از معادله اويلر- لاگرانژ:
(2-21)
معادله حرکت آن به دست مي آيد:
(2-22)
که در دستگاه مختصات دکارتي خواهيم داشت:
(2-23)
جواب معادله (2-23) در دستگاه مختصات دکارتي معادله موج تخت زير است:
(2-24)
که اگرمعادله(2-24) درمعادله(2-23) جايگزين شود معادله(2-25) حاصل مي شود:
(2-25)
و اگر نام گذاري شود، خواهيم داشت:
(2-26)
بنابر قضيه هلمهوتز[75] جواب هاي معادله لاپلاس که شرايط مرزي مشابه ديريشله و نويمان را برآورده مي کنند يکتا هستند. اگر معادله (2-26) را در يک بعد بررسي کنيم، خواهيم داشت:
(2-27)
حل هاي اين معادله e±ikx يا sinkx و coskx است. ما به دنبال جوابي که در مرزهاي x=0 و x=a
صفر باشد هستيم که بدين ترتيب فقط حل sinkxباقي مي ماند. براي شرط مرزي x=a بايد داشته باشيم:
(2-28)
به همين ترتيب مي بينيم که حل معادله (2-26) در معادله(2-21) اين گونه است:
(2-29)
اگرحل (2-29) را در معادله (2-26) قرار دهيم:

پس:
(2-30)
بنابراين حل کلي ترکيبي از مدهاي فوق، اين گونه مي شود:
(2-31)

2-3-2 کوانتش دستگاه بدون حل معادلات حرکت
– اصول کلي
براي اين که بدون حل معادلات حرکت و با استفاده از شرايط مرزي سيستم که قيود اوليه سيستم به شمار مي روند به کوانتش ميدان بپردازيم بايد:
1- بسط فوريه مولفه هاي ميدان را بنويسيم.
2- سازگاري قيود را با محاسبه کروشه پواسون شرايط مرزي با هاميلتوني محاسبه کنيم و نشان دهيم بي نهايت قيد وجود دارد.
3- با اعمال قيود بر بسط مولفه هاي ميدان برخي از مدها را حذف کرده و فضاي فاز کاهش يافته را تشکيل مي دهيم.
4- با استفاده از جفت کانونيک بودن ضرائب بسط به کوانتش مولفه هاي ميدان در فضاي فاز کاهش يافته مي پردازيم. حال به اصول کلي اين روش براي ميدان کلين گوردون مي پردازيم[4]:

ميدان کلين گوردون رادر جعبه اي به ابعاد a,b,c در نظر مي گيريم و مساله را با شرايط مرزي ديريشله حل مي کنيم. شرايط مرزي سيستم عبارتند از:
(2-32)
اين شرايط مرزي قيود اوليه سيستم هستند. به منظور بررسي سازگاري قيود، هاميلتوني سيستم را به دست مي آوريم:
(2-33)
که در آن:
هاميلتوني کل عبارت است از مجموع هاميلتوني کانونيک و شرايط مرزي سيستم با ضريب که ها ضرائب نامعين لاگرانژي هستند:
(2-34)
حال به بررسي سازگاري قيود مي پردازيم. به عنوان مثال شرط مرزي در ديواره x=a را در نظر
مي گيريم. ابتدا کروشه پواسون اساسي ميدان ها را به صورت زير فرض مي کنيم:
(2-35)
در نخستين قدم سازگاري داريم:
(2-36)
حال براي بدست آوردن قيود مرتبه سوم سيستم پس از کمي محاسبه داريم:
(2-37)
با محاسبه جملات ديگرداريم:
(2-38)
(2-39)
که بدين ترتيب اين گونه قيود سيستم در x=0 به دست آمدند:
(2-40)
براي مرز x=a نيز همين قيود وجود دارد:
(2-41)
نظير همين قيود براي y=0 و y=b و z=c و z=0 نيز وجود دارد.

– اعمال قيود بر مدهاي فوريه
پس از به دست آوردن سازگاري قيود با استفاده از بسط فوريه مولفه هاي ميدان و و اعمال قيود بر اين مولفه ها نشان مي دهيم که اين کار به از بين بردن برخي از ضرائب بسط مولفه هاي ميدان و تشکيل فضاي فاز کاهش يافته منجر مي شود و در نهايت در فضاي فاز کاهش يافته به کوانتش مولفه هاي ميدان اقدام مي کنيم. کلي ترين بسط مولفه هاي ميدان و عبارتند از:
(2-42) و(2-43)
که روابط بالا در سه بعد عبارتند از:
(2-44) و(2-45)
و با توجه به جفت کانونيک بودن a و b يعني:
(2-46)
مي توان قيود (2-40) را بر مولفه هاي ميدان اعمال کرد. در x=0 خواهيم داشت:
(2-47)
براي برقراري رابطه فوق به ازاي هر n دلخواه بايد تابع فردي از باشد. به همين ترتيب براي ميدان هم بايد تابع فردي از kx باشد بنابراين با توجه به بسط (2- 26) جملات کسينوسي x حذف و فقط جملات سينوسي باقي مي مانند پس:
(2-48)
با استدلال مشابه و با اعمال بقيه قيود در سطوح y=0 و z=0 به فضاهاي فاز کاهش يافته زير براي و
مي رسيم:
(2-49) و(2-50)
حال بقيه قيود را بر فضاي فاز کاهش يافته بالا اعمال مي کنيم. درx=a داريم:
(2-51)
انتگرالده نسبت به kx زوج است. تنها راه براي اين که به ازاي هر n دلخواه حاصل صفر شود آن است که kx مضربي از باشد و يا a(kx, ky,kz)=0 براي .
به طريق مشابه براي مرزهاي y=b و z=c نيز به دست خواهيم آورد که فقط براي و ، a(kx, ky,kz) غير صفر است. پس مولفه هاي ميدان در فضاي فاز کاهش يافته عبارت است از:
(2-52)
(2-53)
با کمي دقت متوجه مي شويم که حل دو معادله کلي با حل معادله حرکت (2-31) و ديگري با روش قيود ديراک (2-52) به جواب يکساني منجر مي شود.
در بخش 4-1، از مولفه ميدان معادله(2-52) در يك بعد، يعني مختصه مکاني به دست آمده توسط روش قيود ديراك استفاده نموده و به وسيله آن نيروي كازيمير ميدان كلين گوردون را به دست مي آوريم.

2-3-3 محاسبه ميدان کلين گوردون با شرط مرزي نويمان
معادله کلين گوردون را با شرط مرزي نويمان هم مي توان حل کرد، يعني وقتي مشتق عمودي در مرزها صفر باشد:
(2-54)
در نتيجه به جاي مشتقات زوج و مشتقات فرد به عنوان قيود سيستم در نظر گرفته مي شوند.
در x=0 داريم:
(2-55)
و همين طور براي y=0 و z=0 :

و در انتها همانند روش شرط مرزي ديريشله، پس از به کارگيري فضاي فاز کاهش يافته مولفه هاي ميدان به صورت زير نوشته مي شود:
(2-56)
(2-57 )

2-4 کوانتش ميدان الکترومغناطيس با استفاده از قيود ديراک در حجم محدود
2-4-1 اصول کار
براي کوانتش معادلات ميدان الکترومغناطيسي، ابتدا قيود معمولي سيستم را که از تعريف تکانه ها به دست مي آيد را بررسي مي کنيم که اين قيود چون با يکديگر جابه جا مي شوند نوع اول هستند. به ازاي قيود نوع اول شرايط تثبيت پيمانه اي را تعريف مي کنيم که پيمانه ها را به طور کامل تثبيت کند تعداد شرايط پيمانه اي هم بايد برابر با تعداد قيود نوع اول باشد [73]. سپس ميدان الکترومغناطيسي را به حجم محدود مي کنيم و شرايط مرزي را به عنوان قيد اوليه سيستم در نظر مي گيريم. در کوانتش ميدان الکترومغناطيس دو نوع قيد به همراه ضرائب لاگرانژي مربوط به آن بايد در هاميلتوني کل گنجانده شود[4].

2-4-2 کوانتش ميدان الکترومغناطيسي
لاگرانژي ميدان الکترومغناطيس بدون چشمه هاي بار و جريان به صورت زير است:
(2-58)
و از آنجا که پس:
(2-59)
و تکانه نظير مولفه ميدان عبارت است از:
(2-60)
(2-61)
(2-62)
قيد اوليه سيستم در معادله(2-61)، است و هاميلتوني کانونيک سيستم عبارت است از:
(2-63)
(2-64)
پس از انجام مقداري محاسبات بر روي هاميلتوني کانونيک،Hc برابر خواهد شد با:
(2-65)
و هاميلتوني کل مساوي است با:
(2-66)
اگر کروشه پواسون هاي اساسي زير بين مولفه هايو برقرار باشد داريم:
(2-67)
حال با استفاده از (2-67) و (2-66) تحول زماني قيد اوليه را بررسي مي کنيم که منجر به يک قيد ثانويه بدين شکل مي شود:
(2-68)
از بررسي تحول زماني اين قيد جديد، قيد ثانويه ديگري به دست نمي آيد. بنابراين فقط يک قيد ثانويه داريم و چون قيود ما نوع اول هستند.حال به ازاي دو قيد نوع اول دو شرط تثبيت پيمانه اي ارائه مي دهيم که پيمانه ها را بطور کامل تثبيت کند. پيمانه توليد شده توسط و پيمانه توليد شده توسط را تثبيت مي کند.
براي آنکه يک شرط تثبيت پيمانه، پيمانه را کاملاً تثبيت کند لازم است که کروشه پواسون آن با قيد نوع اول مخالف صفر باشد [72].
(2-69)
2-4-3 تعريف شرايط مرزي و محاسبه قيود
حال ميدان الکترومغناطيسي را در جعبه اي مکعب مستطيل با ديواره هايي کاملاً رسانا به ابعاد a و b و c محدود مي کنيم. شرايط مرزي مناسب عبارتند از: صفر شدن مولفه مماسيE ،و مولفه عمودي B روي مرز. با استفاده از معادلات ماکسول[76] داريم:

A0 يکي از قيود اوليه سيستم و صفر است پس (پتانسيل نرده اي)هم برابر صفر است پس:
(2-70)
بنابراين شرايط مرزي مناسب عبارتند از:
(2-71)
که تعدادکل اين قيود 18 تا است و به ازاي هر قيد ضريب لاگرانژي مربوط به آن را خواهيم داشت.براي بدست آوردن قيود بعدي سازگاري قيود فوق با هاميلتوني کل را محاسبه مي کنيم که اين کار را براي يکي از شرايط مرزي سيستم انجام مي دهيم. در ابتدا هاميلتوني کل عبارت است از:
(2-72)
حال با بررسي سازگاري قيود کروشه پواسون Ai با هاميلتوني کل داريم:
(2-73)
با ادامه روند سازگاري به دست مي آيد:
(2-74)
(2-75)
(2-76)

به همين ترتيب قيود بعدي سيستم نيز به دست مي آيد و قيود سيستم به ازاي همهn هاي صحيح اين گونه
مي باشند:

(2-77)

و سري دوم قيود عبارتند از:
(2-78)

2-4-4 اعمال قيود بر بسط مولفه هاي ميدان
حال کلي ترين بسط مولفه هاي ميدان را در دستگاه مختصات دکارتي نوشته و سپس قيود را بر مولفه هاي ميدان اعمال مي کنيم. کلي ترين بسط مولفه هاي ميدان عبارتند از:
(2-79)
(2-80)
اگر جملات (2-79) و (2-80) را برحسب ضرائب sin و cos بنويسيم در هر کدام از روابط فوق هشت جمله خواهيم داشت که ترکيبي از sin و cos هاي x و y و z خواهد بود. حال با اعمال قيود بر مولفه ميدان Ax، تمام ضرايب هاي تابع z و y مساوي صفر شده و فقط جملاتي که در آن y و z برحسب بيان شده اند باقي
مي مانند:

(2-81)
(2-82)
(2-83)
از صفر شدن Ax در z=c و y=b به دست خواهيم آورد:
(2-84)
و هم چنين با اعمال قيود در x=a : به دست مي آيد. حال قيد اوليه را بر مولفه هاي ميدان اعمال مي کنيم. اين کار سبب مي شود که در Axتنها جمله کسينوسي x ، در Ay جمله کسينوسي y و در Az جمله کسينوسي z باقي بماند يعني:
(2-85)
در بخش 4-2-2، با شروع از مولفه ميدان به دست

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید