دهد اما همگني و همسانگردي خود را هم حفظ مي کند .
شواهد رصدي اصل کيهان شناختي را مورد تائيد قرار ميدهند:
يکي از دلايل مهم براي همسانگردي جهان وجود تابش زمينه کيهاني CMB4 است. پنزياز5 و ويلسن6 در سال 1965 تابش زمينه کيهاني را کشف کردند [2].
آنها تابشي با دماي 2.7 درجه کلوين را رديابي کردند که از تمام جهات آسمان ساطع مي شد. اين تابش با دقت يک درصد همسانگرد است.
براي همگن بودن هم هابل7 با مشاهدات دقيق خود توانست نشان دهد که کهکشان ها با سرعتي زياد در حال دور شدن از هم هستند و مي توان با توجه به قانون معروف هابل اين همگني را در زمان هاي مختلف رديابي کرد [3].

1-3 استفاده از تعبير رياضي اصل کيهان شناختي براي رسيدن به مدل فريدمن [4] ،[5] .
بردارهاي کيلينگ8
متريک g_ab را در نظر مي گيريم. اگر بخواهيم اي متريک تحت يک انتقال مانند : x^’a ?x^a ناوردا باقي بماند بايد داشته باشيم : g_ab (x)=(?x^’c)/(?x^a ) (?x^’d)/(?x^b ) g_cd (x^’) که البته حالتي بسيار عمومي دارد.
اما اگر تمرکز خود را به يک انتقال بسيار کوچک مختصات معطوف کنيم، يعني داشته باشيم :
x^i?x^i+?^i
که انتقال از نقطه P به نقطهP^’ است. آن گاه مي توان نوشت :
g_ik (x_p^l )?g_ik (x_p^l+?_p^l )
حال تساوي به صورت زير را برقرار مي کنيم تا شرط ناوردايي را داشته باشيم :
g_mn^’=(?x^i)/(?x^’m ) (?x^k)/(?x^’n ) g_ik (x_p^l+?_p^l)
از آنجا که ?^i بسيار کوچک است مي توان با بسط تيلور و صرف نظر کردن از توان هاي بالا، معادله بالا را به صورت زير تقريب زد
(?x^i)/(?x^’m ) |_P??_m^i+?_(p,m)^i
g_ik(x^l+?_p^l)?g_ik(x^l)+?_p^l g_(ik,l)(x_p^l)
g_mn^’ (P^’ )=g_mn (P)+[?^l g_(mn,l)+?_(,m)^l g_ln+?_(,n)^l g_lm ](P)
واضح است براي اينکه در انتقال از P بهP^’ متريک ناوردا باقي بماند بايد جمله سمت راست معادله بالا صفر باشد يعني :
?^l g_(mn,l)+?_(,m)^l g_ln+?_(,n)^l g_lm= 0
صورت ديگر معادله بالا به اين شکل خواهد بود :
?_(m;n)+?_(n;m)=0
دو معادله پاياني به معادلات کيلينگ معروفند و بردار? نيز بردار کيلينگ ناميده مي شود.
اگر در فضا ـ زماني انتقالي مانند بالا صورت بگيرد و معادله کيلينگ برقرار باشد، مي توان گفت که اين فضا ـ زمان داراي تقارن9 است.
اگر فضا ـ زماني بردارهاي کيلينگ خود را داشته باشد و معادله بالا را ارضا کند مي توان گفت که يک حالت ايزومتري خواهيم داشت.
به عنوان مثال مي توان براي مختصات قطبي کروي ، ?,? معادله کيلينگ را براي ?^? و?^? نوشت و بردارهاي کيلينگ مستقل را بدست آورد.
ds^2=?d??^2+?sin?^2 ?d?^2

?^?=A sin??+B cos?? ?^?=(A cos??-B sin?? ) cot??+C

که ضرايب A ,B ,C را مي توان بدست آورد.

حال مي خواهيم همگني و همسانگردي را از نگاه ديگري تعريف کنيم [5].
همگني: يک فضا – زمان را مي توان همگن ناميد در صورتي که در آن يک حالت ايزومتري در انتقال بسيار کوچک از نقطه P به نقطه P’،که اين دو نقطه در نزديکي هم قرار دارند، برقرار باشد.
به عبارت ديگر بردار کيلينگ در نقطه P بتواند هر مقدار ممکن را بگيرد و بتوانيم در اين نقطه nبردار مستقل خطي کيلينگ را انتخاب کنيم و با انتخاب مناسب در هر نقطه X دلخواه در نزديکي Pبردار کيلينگ را نوشت.
(lim)?(X?P)???^((k) ) ? (X,P)=?_i^k (k=1,2,….,n)
مي توان با ادامه دادن اين جابجايي هاي کوچک، از نقطه P به هر نقطه دلخواه P^’ رسيد.
همسانگردي : فضا ـ زمان Mبه شرطي در نقطه داده شده Pهمسانگرد است که بردار کيلينگ ?_i در همسايگي Pوجود داشته باشد بطوريکه ?_i (P)=0 و ?_(i;k) (P) فضا را به صورت يک تانسور پاد متقارن مرتبه دو در نقطه Pپوشش دهد.
اين معادل اين است که معادله کيلينگ برابر صفر شود.
?^l g_(mn,l)+?_(,m)^l g_ln+?_(,n)^l g_lm= 0
بنابراين بايد نتيجه گرفت که اگر متريکي داشته باشيم که آن متريک به همراه بردارهاي کيلينگ خود در معادله کيلينگ صدق کند، اين فضا همگن و همسانگرد است و بالعکس.

1-4 متريک رابرتسون – واکر
با توجه به اصل کيهان شناختي، در مقياس بسيار بزرگ ما جهاني همگن و همسانگرد را مشاهده مي کنيم. همانطور که اشاره شد اين همگني و همسانگردي مي تواند به لحاظ رياضي مورد توجه قرار بگيرد. يکي از مدلهايي که مي توان براي شکل کلي جهان و روند تحول آن متصور شد، يک فضاي متقارن کروي است.
اين فضاي متقارن را مي توان به صورت يک کره در نظر گرفت. همان طور که گفته شد همگني و همسانگردي در حالت ايستا معنا دارد، يعني در طول زمان و افزايش شعاع اين همگني و همسانگردي تغيير مي کند. بنابراين مي توان حالت دو بعدي را براي اين کره در نظر گرفت که فقط ? و ? که زواياي قطبي و سمتي هستند تغيير مي کنند. از آنجا که با دو بعد سر و کار داريم بايد سه بردار کيلينگ داشته باشيم [6].
مي توان نشان دادکه اين سه بردار عبارتند از :
?_1^?=(0 , 0 ,-sin?? ,-cot?? cos?? )
?_2^?=(0 , 0 ,? cos???, ?-cot??? sin?? )
?_3^?=(0 , 0 , 0 , 1 )
اين بردارها خاصيت همسانگردي را تاييد مي کنند.

هم چنين مي توان نشان داد که عنصر خطي براي اين تقارن کروي به صورت زير است :

?ds?^2=-e^2? c^2 ?dt?^2+e^2? ?dr?^2+r^2 (?d??^2+?sin?^2 ?d?^2 )

حال براي يافتن متريک مورد نظر معادله کيلينگ را براي اين مورد حل مي کنيم

g_(??,?) ?^?+g_?? ?_( ,?)^?+g_?? ?_( ,?)^?=0
به عنوان مثال براي ?_3^? داريم :
g_(??,3)=0
و
?/?? g_??=0
براي ??=00 داريم:
g_00,2 (-sin?? )+g_00,3 (-cot?? cos?? )=0
g_00,2 ?sin?^2 ?=-g_00,3 cot?? cos?? sin??
با حل همه اين معادلات سرانجام مي توان به ماتريس زير رسيد :
g_??=(?(?(g_00 (r,t)& g_01 (r,t)@g_10 (r,t)& g_11 (r,t))&?(0 &0@0 &0)@?(0& 0@0& 0)& ?(g_22 (r,t)& 0 @0&g_22 (r,t) ?sin?^2 ?)))
و عنصر خطي به صورت زير نوشته مي شود :
?ds?^2=-g_00 (r,t) c^2 ?dt?^2+2g_01 (r,t)cdrdt+g_11 (r,t) ?dr?^2+g_22 (r,t)[?d??^2+?sin?^2 ?d?^2 ]

اين عمومي ترين متريک براي يک فضاي همسانگرد است .
همان طور که گفتيم بر اساس اصل کيهان شناختي فضا همگن است. در واقع اگر فضا حول يک نقطه همسانگرد باشد و تحت انتقال ناوردا باقي بماند همگن نيز خواهد بود.
حال بردارهاي کيلينگ را براي چرخش مي نويسيم [6] :
X_1=-z ?/?y+y ?/?z X_2=z ?/?x-x ?/?z X_3=-y ?/?x+x ?/?y
که در مختصات کارتزين نوشته شده است. براي مختصات قطبي کروي داريم[1] :
?_1^?=(0 ,sin?cos? ,1/r cos?cos? ,-1/r sin?/sin? )
?_2^?=(0 ,sin?sin? , 1/r cos?sin? ,1/r cos?/sin?)
?_3^?=(0 ,cos? ,-1/r sin? ,0 )
حال اگر معادله کيلينگ را در مورد بردارهاي بالا بکارببريم داريم :

g_00,1=0 ? g_00=g_00 (t)
g_22 (r,t)=A(t)r^2
g_11=1/r^2 g_22=A(t) , g_01=0
مي بينيم که همه عناصر غير قطري ماتريس g_?? صفر مي شوند و در نهايت مي توان ds را بدست آورد.
مي توان نوشت[6] :
?ds?^2=-c^2 ?dt?^2+a^2 (t)[?dr?^2+r^2 ?d??^2+r^2 ?sin?^2 ??d??^2 ]
در اين رابطه ، t يک زمان ” جهاني ” است براي کل خمينه فضا-زمان. عامل a(t) يک عامل انبساطي است که بر روي عنصر فضايي متريک عمل مي کند.

براي تفسير بهتر قسمت فضايي به روش زير عمل مي کنيم.
فضاي چهار بعدي را در نظر مي گيريم که :
?(x^1)?^2+?(x^2)?^2+?(x^3)?^2+?(x^4)?^2= b^2

که x^? معرف همان مختصات کارتزين است.
توجه داشته باشيم که در اينجا x^4 زمان نيست. اين شبيه يک کره چهار بعدي با شعاع b^2 است.
حال معادل اين را در مختصات کروي مي نويسيم.
x^1=b sin?? sin?? cos??
x^2=b sin?? sin?? sin??
x^3=b sin?? cos??
x^4=b cos??
مجددا براي برقراري شرط همسانگردي ( که شرط همگني را هم در پي خواهد داشت) بردارهاي کيلينگ را بدست مي آوريم. اين بردارها براي ناوردايي تحت چرخش که متضمن همسانگردي است عبارتند از :
?_1=x^2 ?/??x?^3 -x^3 ?/??x?^2 ?_2=x^3 ?/??x?^1 -x^1 ?/??x?^3 ?_3=x^1 ?/??x?^2 -x^2 ?/??x?^1
با جاگذاري براي ?_1^? داريم :
?_1^?=sin??? sin?? ? sin?? (0 , cos?? cos?? , sin??/sin?? ,0 )-sin?? cos?? (0 ,cos?? sin?? sin??? ,(cos?? sin??)/sin?? ? ,cos??/(sin?? sin?? ))
که در نهايت مي رسيم به :
?_1^?=(0 , 0 ,-sin?? ,-cot?? cos?? )
که همان نتيجه قبلي است. به همان روش قبلي مي توانيم ?ds?^2 را بنويسيم :
?ds?^2=-c^2 ?dt?^2+a^2 (t)[?d??^2+?sin?^2 ??d??^2+?sin?^2 ??sin?^2 ??d??^2 ]
از آنجا که ?sin?^2 ?=r^2/a^2 ، که b همان شعاع کره چهار بعدي در نظر گرفته شده است، و اينکه ?d??^2=?dr?^2/(r^2-b^2 ) بنابراين مي توان نوشت :
?ds?^2=-c^2 ?dt?^2+a^2 (t)[dr/(1-r^2/b^2 )+r^2 ?d??^2+r^2 ?sin?^2 ??d??^2 ]
هم چنين مي توان اين کره چهاربعدي را در فضاي مختلط نوشت :
?(x^4)?^2-?(x^1)?^2-?(x^2)?^2-?(x^3)?^2= b^2

که در آن صورت داريم:

x^1=b sin?h? sin?? cos??
x^2=b sinh?? sin?? sin??
x^3=b sinh?? cos??
x^4=b cosh??
و با جاگذاري sin?sinh وcos?cosh خواهيم داشت:
?ds?^2=-c^2 ?dt?^2+a^2 (t)[dr/(1+r^2/b^2 )+r^2 ?d??^2+r^2 ?sin?^2 ??d??^2 ]
و سرانجام مي توان نوشت :
?ds?^2=-c^2 ?dt?^2+a^2 (t)[dr/(1-?kr?^2 )+r^2 ?d??^2+r^2 ?sin?^2 ??d??^2 ]
که kمقادير 1 و 0 و 1- را مي گيرد که به ترتيب نشانگر جهاني بسته،تخت و يا باز خواهد بود.
اين متريک نشان دهنده جهاني همگن وهمسانگرد است. عامل a^2 (t) توصيف کننده گسترش فضا است. اين متريک به متريک رابرتسون – واکر 10 معروف است.
1-5 معادلات ميدان اينشتين [6]
بي شک معادلات ميدان اينشتين يکي از مهمترين عناصر تشکيل دهنده کيهان شناسي مدرن مي باشد.
اينشتين به اين موضوع فکر مي کرد که تانسور انرژي- تکانه بايد به عنوان منبع گرانش عمل کند. يا به زبان اصل ماخ11 اين توزيع ماده (انرژي) است که هندسه را مشخص مي کند.
او ابتدا اين معادله را نوشت :
R_??=kT_??
R_?? تانسور انرژي – تکانه و R_?? تانسور ريچي است که معرف هندسه مورد نظر ما است.
معادله ميدان اينشتين را مي توان تعميم نسبيتي معادلات لاپلاس و پوواسون ( در عدم حضور يا حضور ماده ) تلقي کرد.

در حالت خلا مي توان نوشت :
R_??=0
و اگر بخواهيم شکل معادله پوواسون را داشته باشد به اين صورت زير نوشته مي شود
R_??=kT_??
مشکل معادله بالا اين است که اگر بخواهيم قانون پايستگي را بنويسيم داريم : T_(;?)^??=0
اما براي R_(;?)^???0 است. بنابراين اينشتين فرم ديگري براي سمت چپ معادله خود انتخاب کرد:
G^??=R^??-1/2 g^?? R=kT^??
ضريب k را هم مي توان به تشابه با معادله پوواسون ?^2 ?=4?G?_0 ، به صورت 8?G/c^2 نوشت.
بنابراين فرم نهايي معادله اينشتين به اين صورت است:

G_??=8?G/c^2 T_??

1-6 مدل فريدمن 12
در اين قسمت مي خواهيم حل معادلات اينشتين را براي متريک رابرتسون – واکر بدست آوريم.
اگر متريک مورد نظر g_?? را براي متريک رابرتسون – واکر بنويسيم، مولفه هاي غير قطري صفر خواهند شد. و براي مولفه هاي قطري داريم[4] :
g_00=1
g_11=(-a^2)/(1-kr^2 )
g_22=-a^

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید