2 r^2
g_33=-a^2 r^2 ?sin?^2 ?
g=g_00 g_11 g_22 g_33=-(a^6 r^4 ?sin?^2 ?)/(1-kr^2 )
?(-g)=(a^3 r^2 sin?)/?(1-kr^2 )

حال بايد ? ها ،يا همان ضرايب اتصال را پيدا کنيم.

?_kl^i=1/2 g^im (g_(ml,k)-g_(lm,k)-g_(kl,m) )=?_lk^i

?_01^1=?_02^2=?_03^3=1/c a ?/a
?_11^0=(aa ?)/(c(1-kr^2)) , ?_22^0=(aa ?r^2)/c , ?_33^0=(aa ?r^2 ?sin?^2 ?)/c

?_11^1=k/(1-kr^2 ) , ?_12^2=?_13^3=1/r , ?_22^1=-r(1-kr^2)

?_33^1=-r(1-kr^2)?sin?^2 ? , ?_33^2=-sin?cos? , ?_23^3=cot?
حال به محاسبه R_?? ها مي پردازيم :
R_??=(?^2 ln?(-g))/(?x^? ?x^? )-(??_??^l)/(?x^l )+?_?n^m ?_?m^n-?_?l^l (? ln?(-g))/(?x^l )
و داريم :

R_00=3/c^2 a ?/a R_11=R_22=R_33=1/c^2 (a ?/a+(2a ?^2+2kc^2)/a^2 )
براي محاسبه اسکالر ريچي داريم :

R=g^?? R_?? ?(?? ) R=6/c^2 (a ?/a+(?2a ??^2+kc^2)/a^2 )

حال مي توانيم G_?? را داشته باشيم :
G_??=R_??-1/2 Rg_??
G_00=-3/c^2 ((a ?^2+kc^2)/a^2 )
G_11=G_22=G_33=-1/c^2 (a ?/a+(a ?^2+kc^2)/a^2 )
که سمت چپ معادله اينشتين بدست مي آيد.
حالا بايد T_?? را بدست بياوريم. همان طور که ديديم بنابر اصل کيهان شناختي جهان همگن است.
اين بدين معني است که توزيع ماده در جهان از توزيع يک سيال کامل تبعيت مي کند وبنابراين تانسور T_?? را مي توان به صورت زير نوشت:
T_??=p/c^2 g_??+(?+p/c^2 )u_? u_?
که p فشار و ? چگالي است.

و خواهيم داشت :
T_00=?
T_11=T_22=T_33=p/c^2
که در اين جا داريم :
T_ij=0 i?j , T_0i=0

با قرار دادن T_?? ها در سمت راست معادله اينشتين داريم :

(?a ?/a)?^2=8?G/3 ?-(KC^2)/R^2

a ?/a=-4?G/3(?+3p)

معادلات فريدمن وشتاب کاربردهاي مهمي در کيهان شناسي دارند.
در اين فصل ما با ارائه اصل کيهان شناختي سعي کرديم تا مدل رياضي مورد تائيد اين اصل را مطرح کنيم. متريک رابرتسون – واکر نيز مبتني بر اين اصل بدست مي آيد. سرانجام با تکيه بر اين متريک، معادلات اينشتين را براي اين مورد خاص حل کرديم و به معادلات فريدمن و شتاب رسيديم.

فصل دوم
مشکلات مدل استاندارد

2-1 کيهان شناسي استاندارد
همان طور که گفته شد، کيهان شناسي به مطالعه ديناميکي ساختار عالم به عنوان يک کل علاقه مند است. از سوي ديگر يکي از اهداف کيهان شناسي يافتن پاسخي براي چگونگي آغاز جهان است.ديدگاه هاي متفاوتي در مورد چگونگي و نحوه بوجود آمدن کائنات در ميان فيزيکدانان وجود داشته است.
اما سرانجام نظريه معروف مهبانگ يا همان انفجار بزرگ اوليه توانست توجه همگان را به سوي خود جلب کند و امروز مي توان گفت که يک مدل استاندارد و پذيرفته شده براي توجيه چگونگي آفرينش عالم است.
بر اساس اين نظريه عالم کنوني ما حدود چهارده ميليارد سال پيش با انفجاري بسيار بسيار بزرگ به وجود آمده است. پس از اين انفجار که از نقطه اي بي نهايت داغ و متراکم شروع شده است، عالم شروع به گسترش کرده و هر آنچه که امروز وجود دارد نتيجه آن انفجار اوليه است.
همان طور که در فصل قبل ديديم، مدل رابرتسون ـ واکر، متريکي را معرفي کرد که يک فضاي متقارن کروي را توصيف مي کند. بر اساس اين متريک گسترش در راستاي شعاعي انجام مي شود و زواياي قطبي و سمتي پوشش دهنده اين گسترش هستند.
اشاره کرديم که که اين مدل بر اساس مشاهدات رصدي که تائيد کننده همگني وهمسانگردي عالم هستند نوشته شده است.
اين مدل به مدل استاندارد مهبانگ13 معروف شده است که بر سه اصل استوار است:
اولا اينکه فرض مي کنيم جهان ما در مقياس بزرگ همگن وهمسانگرد است.
ثانيا فرض مي کنيم که ديناميک فضا ـ زمان بر اساس معادله اينشتين توصيف مي شود.
و سرانجام اينکه توزيع ماده توسط معادله سيال کامل توصيف مي شود.
در فصل اول گفتيم که همگن بودن و همسانگرد بودن در مقياس بزرگ براي عالم توسط مشاهدات رصدي تائيد شده است وما توانستيم با تکيه بر اين خاصيت معادله اينشتين را براي متريک رابرتسون ـ واکر بنويسيم.
حال مي خواهيم به برخي از خصوصيات مدل استاندارد مروري داشته باشيم.
2-2 جهان در حال انبساط
شواهد محکمي وجود دارد که عالم در حال انبساط است. در اين صورت در زمان هاي اوليه فواصل کهکشان ها از همديگر بسيار کوچک تر از حال بوده است.
اگر ضريب مقياسي به نام a تعريف کنيم مي توانيم توصيف ساده اي از چگونگي گسترش عالم و يا همان افزايش فاصله اجزاي کيهاني داشته باشيم. مي توان چگونگي گسترش عالم را به صورت بسيار ساده در شکل زير ديد:

در اين شکل از اصطلاح فاصله همراه comoving distance استفاده شده است. همان طور که ملاحظه مي شود، فاصله همراه ثابت است اما فاصله فيزيکي ، physical distance ، با گذشت زمان افزايش مي يابد.
البته بايد توجه داشت که رابطه بين a و t در زمانهاي مختلف ممکن است متفاوت باشد.
همان طور که در فصل قبل اشاره شد، ادوين هابل با مشاهدات رصدي خود نشان داد که عالم در حال انبساط است.
او مشاهده کرد که کهکشان هاي دور دست در حال فاصله گرفتن از ما هستند. همچنين او دريافت که هر چه فاصله يک کهکشان از ما بيشتر باشد، سرعت دور شدن آن از ما نيز بيشتر خواهد بود [3].
اگر فاصله فيزيکي بين دو کهکشان را با d نشان دهيم داريم d=ax که x فاصله همراه و a ضريب مقياس است. در غياب هرگونه حرکت همراه ، سرعت نسبي يا v=d ? که برابر است با ax ?=Hd يا به عبارت ديگر:
d=ax ?(??(زماني مشتق) ) d ?=a ?x+ax ? ,a ?x?ax ?
در اين صورت a ?x=Hd که a ?x سرعت دور شدن دو کهکشان از هم است.H ثابت هابل نام دارد و برابر است با H=a ?/a . امروزه اين ثابت در حدود 70 (km?s)?MPc است.
نمودار زير که به نمودار هابل معروف است رابطه بين سرعت دور شدن و فاصله را نشان مي دهد.

نمودار 2-1 . نموداري که هابل در سال 1929 استفاده کرد. خطوط سياه بهترين تطابق را براي نقاط سياه نشان مي دهند که با توجه به حرکت خورشيد تصحيح شده اند. خطوط خط چين بهترين تطابق را براي نقاط تو خالي نشان مي دهند که بدون تصحيح توسط حرکت خورشيد نشان داده شده اند [7].

مقياسي براي سرعت دور شدن را مي توان با استفاده از انتقال به سرخ بدست آورد
Z+1=?_0/?=a_0/(a(t))
که a_0ضريب مقياس در زمان حال و a(t) ضريب مقياس در زمان مورد نظر است.
?_0 طول موج مشاهده شده و ? طول موج انتشار يافته از کهکشان هدف است.
مشاهده مي شود که هر چه قدر Z بزرگ باشد ، a(t) کوچک خواهد بود و در نتيجه H بزرگتر خواهد شد سرعت دور شدن هم با توجه به V=Hd بيشتر خواهد بود.
هم چنين اگر طيف مشاهده شده از يک کهکشان به سمت قرمز ميل کند داريم z0
و در اين صورت a(t)a_0 خواهد بود که نشان دهنده انبساط عالم است [7].

علاوه بر مشاهدات هابل، مدل استاندارد يا همان مدلي که بر اساس مدل فريدمن از انبساط جهان توصيف مي شود، پيش گويي خوبي در مورد وجود تابش ميکرو موج زمينه کيهاني و هم چنين چگونگي به وجود آمدن و فراواني عناصر سبک در ابتدا آفرينش عالم بدست مي دهد. با وجود موفقيت هاي اين مدل در توصيف چگونگي گسترش جهان، ابهاماتي وجود دارد که بررسي آنها يا بهتر بگوييم اين اشکالات در مدل استاندارد مهبانگ ضروري بنظر مي رسد.

2-3 مسئله تخت بودن 14
از معادله فريدمن شروع مي کنيم. اگر a ?/a را به صورت H=a ?/a نشان دهيم مي توان معادله فريدمن را اين طور نوشت:
H^2=8?G?/3-(kc^2)/a^2
اگر c=1 قرار دهيم مي توان معادله را به اين صورت نوشت:
?-1=8?G?/(3H^2 )-1=k/(H^2 a^2 )
? به پارامتر چگالي معروف است و برابر است با ?/?_(c ) که ?_c به چگالي آستانه15 معروف است.
مي دانيم که در مدل استاندارد رابطه a با زمان به صورت a?t^q است که (q<1 و به عنوان مثال q=1/2 در دوران غلبه تابش و q=2/3 در دوران غلبه ماده) بنابراين اگر در رابطه ?-1=k/(H^2 a^2 ) ، ? به سمت يک ميل کند در آن صورت k نيز به سمت صفر ميل خواهد کرد.k=0 نمايانگر حالت تخت بودن کامل فضا است. مشاهدات رصدي تائيد کننده تخت بودن هستند. به عنوان مثال در دوره معروف به هسته زايي، حدود يک ثانيه پس از انفجار بزرگ اختلاف ? با يک از مرتبه ?10?^(-16) و يا در زمان t??10?^(-11) ثانيه اين اختلاف برابر ?10?^(-27) است که نشان مي دهد جهان در لحظات اوليه بسيار تخت بوده است [8]. مدل استاندارد مهبانگ پاسخ قانع کننده اي به اين تخت بودن يا به عبارت ديگر اين تنظيم دقيق براي ? ندارد. 2-4 مسئله افق 16 شايد يکي از اساسي ترين مشکلات در کيهان شناسي استاندارد، مسئله افق باشد. افق به بيشترين فاصله اي که توسط يک پرتو نور مي تواند پوشش داده شود گفته مي شود. امواج ميکرو موج پس زمينه کيهاني از تمام نقاط آسمان ساطع مي شوند و نکته جالب اين است که اگر به هر سمت از آسمان نگاه کنيم اين امواج را با طيف تابش يک جسم سياه در حدود 2.7 درجه کلوين مي توان رديابي و رصد کرد. شايد بتوان اين گونه توجيه کرد که تمام نقاط جهان در يک تعادل گرمايي با هم هستند. اما در نظريه استاندارد مهبانگ نميتوان چنين توجيهي را پذيرفت چرا که زمان کافي براي نقاط دوردست از هم وجود ندارد که بتوانند پيش از آنکه فوتون ها از آنها ساطع شوند به تعادل گرمايي برسند. اگر به رابطه مقابل نگاه کنيم : ?_(t_*)^(t_dec)?dt/(a(t))??_(t_dec)^(t_0)?dt/(a(t)) مي بينيم فاصله اي که نور مي توانسته از زمان آغاز انفجار بزرگ،t_* ، تا زمان برخورد آخرين فوتون ها با ذرات که در زمان هاي اوليه عالم و در زمان غلبه تابش اتفاق افتاده، بسيار کوتاه تر از فاصله اي است که از زمان اين تجزيه، t_dec ، تا به امروز صورت گرفته است. به عبارت ديگر زماني که نور مي توانسته قبل از آخرين برخوردها17 که در واقع همان زمان توليد تابش ميکرو موج زمينه کيهاني است طي کند، بسيار کوتاه بوده و فرصتي براي هم دمايي وجود نداشته است [8]. چگونه نقاط مختلف عالم توانسته اند به اين دقت و همگني هم دما شوند و تابش CMB را در تمام نقاط به صورت يکسان داشته باشيم؟ 2-5 مسئله تک قطبي مغناطيسي 18 يکي ديگر از مواردي که با پيش گويي نظريه کلاسيک انفجار بزرگ در تناقض است، مسئله تک قطبي مغناطيسي است. نظريه وحدت بزرگ يا GUT ، وجود ذره اي با بار مغناطيسي خالص و جرم بسيار زياد در حدود ?10?^16 جرم الکترون را پيش گويي مي کند. يکي از شرايط به وجود آمدن چنين ذره اي حرارت بسيار بالا در حدود T=?10?^17 Gev است که اين شرايط در زمانهاي اوليه عالم وجود داشته است. اما چنين ذره اي تا کنون مشاهده نشده است [9] . نظريه کلاسيک انفجار بزرگ با وجود موفقيت هاي زياد از جمله پيش بيني و توجيه وجود تابش پس زمينه ميکرو موج کيهاني و يا روند تشکيل عناصر سبک، با ابهاماتي مواجه است. نظريه تورم که در بخش بعد به آن خواهيم پرداخت مي تواند توجيه مناسبي براي اين ابهامات باشد. فصل سوم مدل تورمي "آلن گوث"، رهيافتي براي برون رفت از مشکلات مدل استاندارد 3-1 مدل تورمي وجود مشکلات و ابهاماتي که مدل استاندارد کيهان شناسي را درگير کرده بود منجر به ارائه مدل تورمي شد. اولين مدل را آلن گوث 19در سال 1980 ارائه داد [10]. از آن زمان مدل هاي ديگري براي تورم پيشنهاد شده اند. از آنجا که مدل گوث اولين مدل به شمار مي آيد امروزه به مدل تورمي قديم20 مشهور شده است. ايده اصلي تمام نسخه هاي موجود براي سناريوي جهان تورمي اين است که جهان در اولين مراحل تحول خود بايد در يک وضعيت خلا ناپايدار به همراه چگالي انرژي بسيار بالا بوده باشد [9]. از سوي ديگر رابطه فشار و چگالي به صورت p=-? است. اين مي تواند به اين معني باشد که بر اساس رابطه : ? ?a^3+3(?+p) a^2 a ?=0 چگالي انرژي خلا در طول فرآيند گسترش عالـم تغيير نمي کـند. بـه عبارت ديگر يک "تهي" ، تهي باقي مي ماند حتي اگر داراي وزن باشد. اما رابطه (a ?/a)^2+k/a^2 =8?/3 G? تاکيد مي کند که در يک زمان به اندازه کافي بزرگ t جهان بايد در يک حالت ناپايدار خلا ?>0 به صورت نمايي گسترش پيدا کند.
در آن صورت داريم:
براي k=1 (جهان بسته مدل فريدمن) a(t)=1/H cosh??(Ht)?

براي k=0 (جهان تخت فريدمن ) a(t)=1/H e^Ht

براي k=-1 (جهان باز مدل فريدمن) a(t)=1/H sinh??(Ht)?
در اينجا H=?(8/3 ?G?) است. به طور کلي مي توان گفت با وجود اينکه در طول گسترش عالم H تغيير مي کند، اما اين تغيير بسيار آرام است، (H?H^2 ) ? .
در يک زمان خاص ?t=H^(-1) تغييرات کوچکي در بزرگي H به وجود مي آيد، بنابراين با يک مرحله بسط شبه نمايي روبرو هستيم و مي توان نوشت:
a(t)=a_0 exp[?_0^t?H(t)dt]~a_0 e^Ht

تورم زماني به پايان مي رسد که H سريعا شروع به کاهش مي کند. آن گــاه انــرژي ذخيره شده در حالت شبه خلا ، به انرژي گرمايي تبديل مي شود و جهان بسيار داغ مي شود. از اين مرحله به بعد مي توان تحول جهان را با مدل استاندارد توصيف کرد.
دوسيته21 در سال 1917 در مقاله اي جهان را توصيف کرد [11]. اين کار قبل از کار فريدمن و ارائه مدل جهان انبساطي بود. البته اين مدل متفاوت با روابط بالا براي a(t) بود و تا زمان طولاني معني فيزيکي آن تا حدي مبهم بنظر مي رسيد.
قبل از توسعه مدل تورمي، فضاي دوسيته براي توسعه روش هاي نسبيت عام و همچنين ميدان هاي کوانتومي در يک فضاي خميده بکار گرفته مي شد.
احتمال اينکه عالم مي تواند در مراحل اوليه گسترش خود به صورت نمايي بزرگ شود و با يک ماده بسيار متراکم که توسط معادله p=-? توصيف مي شود پر شده باشد اولين بار توسط گلينر22 [12] پيشنهاد شد.
البته در آن زمان اين معادلات توجه زيادي را بر نيانگيختند. اين مطالب در مورد مواد باريوني بسيار چگال که توسط معادله p=?/3 توصيف مي شوند بيان مي شود.
متعاقبا تشخيص داده شد که ميدان تقريبا ثابت اسکالر ? که در نظريه وحدت ذرات بنيادي مشاهده شده است ميتواند نقش حالت خلا با چگالي انرژي V(?) را ايفا کند. بزرگي ? در يک جهان در حال گسترش بستگي به دما و هم چنين به زماني که تحول فاز ? را تغيير مي دهد، دارد. و سرانجام انرژي ذخيره شده در ميدان به انرژي گرمايي تغيير مي کند.
اگر انتقال فاز از يک حالت خلا ناپايدار بسيار سرد انجام شود، آنتروپي کل جهان مي تواند افزايش قابل توجهي پيدا کند و در حالت خاص جهان سرد مي تواند جهان مدل فريدمن را داغ کند.
در سال 1980 مدل بسيار جالب تحول عالم توسط استرابونيسکي23 مطرح شد [13]. اين مدل بر اساس مشاهدات دوکر24 و کريچلي25 مطرح شد که بيان مي دارد متريک دوسيته راه حلي براي معادلات اينشتين با اصلاحات کوانتومي است [14]. استرابونيسکي به اين امر اشاره کرد که اين راه حل ناپايدار است و پس از محو حالت شبه خلا اوليه فضاي دوسيته به مدل داغ فريدمن تغيير حالت مي دهد [15].
مدل استرابونيسکي قدم مهمي در پيشرفت نظريه جهان تورمي بود. با اين وجود مزاياي مهم مرحله تورمي هنوز در آن زمان تشخيص داده نشده بود. مهم ترين هدف در آن زمان حل مساله يکتايي اوليه عالم بود. اين هدف در آن زمان محقق نشد و به صورت مبهم باقي ماند.در اين مدل چگالي ناهمگني که بعد از محو شدن فضاي دوسيته ظاهر مي شود،، بسيار بزرگ خواهد بود.
فرم اصلاح شده استرابونيسکي به عنوان يکي از فعال ترين مدل هاي توسعه يافته براي نظريه جهان تورمي محسوب مي شود.
لزوم در نظر گرفتن مدلي براي

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید